Data Ajar

Modul Ajar Matematika Tingkat Lanjut Kelas 11 SMA: Geometri Analitik Lingkaran dan Irisan Kerucut (Bab 5)

Persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan (a,b), kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran, persamaan garis singgung lingkaran, serta pengenalan kurva irisan kerucut (parabola, elips, dan hiperbola).

Capaian dan tujuan pembelajaran

  • Peserta didik mampu menyusun persamaan lingkaran berdasarkan titik pusat, jari-jari, dan kondisi geometris yang diketahui.
  • Peserta didik mampu menganalisis kedudukan garis dan menentukan persamaan garis singgung lingkaran.
  • Peserta didik mampu mengenali karakteristik persamaan dan unsur-unsur irisan kerucut (parabola, elips, hiperbola).

Materi pokok & uraian konsep pembelajaran

Geometri analitik mengintegrasikan konsep aljabar dengan bentuk geometri kurva kuadrat. Lingkaran didefinisikan sebagai lokus titik-titik yang berjarak sama (jari-jari $r$) terhadap sebuah titik tetap (titik pusat).

Persamaan umum lingkaran $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$ dapat dianalisis untuk menentukan titik pusat $(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2})$ dan jari-jari $r = \sqrt{\frac{A^2}{4} + \frac{B^2}{4} - C}$. Kedudukan garis terhadap lingkaran diuji melalui diskriminan persamaan kuadrat persekutuan atau jarak titik pusat ke garis.

Irisan kerucut mencakup kurva parabola, elips, dan hiperbola yang diperoleh dari perpotongan bidang datar dengan kerucut ganda. Sifat fokus dan direktriks kurva ini diaplikasikan dalam desain teleskop astronomi, antena parabola, dan orbit satelit.

Peta subtopik bahasan

  • Persamaan Baku dan Bentuk Umum Lingkaran

    Menentukan persamaan lingkaran dengan pusat $O(0,0)$ dan $P(a,b)$ serta jari-jari $r$ atau melalui tiga titik.

  • Kedudukan Titik dan Garis Terhadap Lingkaran

    Menganalisis posisi relatif titik di dalam/luar/pada lingkaran dan posisi garis memotong/menyinggung/di luar lingkaran.

  • Persamaan Garis Singgung Lingkaran

    Menentukan persamaan garis singgung yang melalui titik pada lingkaran, titik di luar lingkaran, atau dengan gradien $m$.

  • Irisan Kerucut (Parabola, Elips, dan Hiperbola)

    Mengidentifikasi persamaan kanonik, titik fokus, sumbu utama, dan eksentrisitas kurva irisan kerucut.

Istilah kunci dan glosarium

Garis Singgung Lingkaran
Garis lurus yang memotong lingkaran tepat pada satu titik dan tegak lurus terhadap jari-jari yang melalui titik singgung tersebut.
Titik Fokus (Foci)
Titik tetap acuan dalam irisan kerucut yang menentukan kelengkungan dan bentuk lintasan kurva kuadrat.
Eksentrisitas
Rasio perbandingan jarak titik pada kurva ke titik fokus terhadap jaraknya ke garis direktriks ($e = 0$ lingkaran, $e = 1$ parabola, $0 < e < 1$ elips, $e > 1$ hiperbola).
Kuasakuasa Titik
Nilai aljabar yang diperoleh dari substitusi koordinat titik ke dalam persamaan baku lingkaran untuk menentukan posisi relatifnya.
Garis Polar (Kutub)
Garis hubung antara dua titik singgung pada lingkaran yang ditarik dari sebuah titik di luar lingkaran.

Instrumen asesmen formatif & contoh soal pembelajaran

5 butir instrumen soal pilihan ganda berbasis HOTS untuk mengukur pemahaman konsep pada bab ini. Dilengkapi kunci jawaban dan uraian pembahasan analitis.

Soal 1

Pusat dan jari-jari lingkaran $x^2 + y^2 - 6x + 8y - 11 = 0$ berturut-turut adalah...

  • A. $(3, -4)$ dan $6$
  • B. $(-3, 4)$ dan $6$
  • C. $(3, -4)$ dan $\sqrt{11}$
  • D. $(-3, 4)$ dan $36$
Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan
Kunci Jawaban: Pilihan A

Pembahasan: Pusat $(a,b) = (-\frac{-6}{2}, -\frac{8}{2}) = (3, -4)$. Jari-jari $r = \sqrt{3^2 + (-4)^2 - (-11)} = \sqrt{9 + 16 + 11} = \sqrt{36} = 6$.

Soal 2

Persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 = 25$ di titik singgung $P(3, -4)$ adalah...

  • A. $3x - 4y = 25$
  • B. $3x + 4y = 25$
  • C. $-4x + 3y = 25$
  • D. $3x - 4y = 5$
Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan
Kunci Jawaban: Pilihan A

Pembahasan: Rumus garis singgung di titik $(x_1, y_1)$ pada $x^2 + y^2 = r^2$ adalah $x_1 x + y_1 y = r^2 \rightarrow 3x + (-4)y = 25 \rightarrow 3x - 4y = 25$.

Soal 3

Persamaan garis singgung lingkaran $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 20$ yang memiliki gradien $m = 2$ adalah...

  • A. $y = 2x - 14$ atau $y = 2x + 6$
  • B. $y = 2x - 4 \pm 10$
  • C. $y = 2x - 4 \pm 20$
  • D. $y = 2x + 4 \pm 10$
Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan
Kunci Jawaban: Pilihan A

Pembahasan: $y - b = m(x - a) \pm r\sqrt{1 + m^2} \rightarrow y + 2 = 2(x - 1) \pm \sqrt{20}\sqrt{1 + 2^2} \rightarrow y + 2 = 2x - 2 \pm \sqrt{20}\sqrt{5} \rightarrow y + 2 = 2x - 2 \pm 10$. Garis 1: $y = 2x - 4 + 10 = 2x + 6$. Garis 2: $y = 2x - 4 - 10 = 2x - 14$.

Soal 4

Kedudukan garis $y = x + 10$ terhadap lingkaran $x^2 + y^2 = 9$ adalah...

  • A. Saling lepas (tidak memotong maupun menyinggung)
  • B. Memotong lingkaran di dua titik berbeda
  • C. Menyinggung lingkaran di satu titik
  • D. Melalui pusat lingkaran
Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan
Kunci Jawaban: Pilihan A

Pembahasan: Jarak pusat $O(0,0)$ ke garis $x - y + 10 = 0$ adalah $d = \frac{|0 - 0 + 10|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} \approx 7.07$. Karena $d > r$ ($7.07 > 3$), garis berada di luar lingkaran (saling lepas).

Soal 5

Titik fokus dari parabola dengan persamaan baku $y^2 = 12x$ adalah...

  • A. $(3, 0)$
  • B. $(0, 3)$
  • C. $(-3, 0)$
  • D. $(6, 0)$
Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan
Kunci Jawaban: Pilihan A

Pembahasan: Bentuk umum $y^2 = 4px$. Maka $4p = 12 \rightarrow p = 3$. Karena parabola terbuka ke kanan, koordinat titik fokusnya adalah $(p, 0) = (3, 0)$.

Instrumen evaluasi lengkap, lembar kerja peserta didik (LKPD), dan rubrik penilaian sumatif tersedia di dalam paket berkas perangkat ajar di bawah ini.

Unduh Modul Ajar (.docx) 44 KB

Petunjuk penggunaan berkas

Setelah mengunduh berkas perangkat ajar, ikuti langkah berikut untuk menggunakannya secara optimal:

  1. Buka dokumen menggunakan Microsoft Word, Google Docs, atau LibreOffice.
  2. Sesuaikan identitas satuan pendidikan, nama guru pengampu, NIP, serta alokasi waktu kelas.
  3. Cetak instrumen asesmen atau bagikan lembar kerja (LKPD) kepada peserta didik.

Bahan ajar Matematika Tingkat Lanjut lainnya

  • Polinomial (Suku Banyak)

    Matematika Tingkat Lanjut SMA Kelas 11 · Semester 1

  • Matriks dan Sistem Persamaan Linear

    Matematika Tingkat Lanjut SMA Kelas 11 · Semester 1

  • Transformasi Geometri Analitik Berbasis Matriks

    Matematika Tingkat Lanjut SMA Kelas 11 · Semester 1