Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA: Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers (Bab 1)

Pembelajaran domain, kodomain, range fungsi, operasi aljabar fungsi, komposisi fungsi $(f \circ g)(x)$, sifat asosiatif/identitas komposisi, serta penentuan fungsi invers $f^{-1}(x)$ dan invers dari fungsi komposisi.

Capaian dan tujuan pembelajaran

Peserta didik mampu menentukan daerah asal, daerah kawan, dan daerah hasil dari suatu relasi fungsi.
Peserta didik mampu melakukan operasi komposisi fungsi dan menganalisis sifat-sifatnya.
Peserta didik mampu menentukan invers suatu fungsi dan memodelkan masalah nyata menggunakan fungsi invers.

Materi pokok & uraian konsep pembelajaran

Fungsi matematika memetakan setiap anggota himpunan daerah asal (*domain*) tepat ke satu anggota himpunan daerah kawan (*kodomain*). Pemahaman relasi dan jenis fungsi (injektif, surjektif, bijektif) mendasari operasi penggabungan proses berurutan.

Komposisi fungsi $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ memodelkan proses bertingkat dalam dunia industri dan sains, seperti proses pengolahan bahan mentah menjadi bahan setengah jadi lalu menjadi produk akhir. Syarat terdefinisi fungsi komposisi menuntut irisan antara daerah hasil fungsi pertama dengan daerah asal fungsi kedua tidak kosong ($R_g \cap D_f \neq \emptyset$).

Fungsi invers $f^{-1}(x)$ merupakan operasi pembalikan arah pemetaan yang hanya berlaku pada fungsi bijektif (korespondensi satu-satu). Sifat $(f \circ g)^{-1}(x) = (g^{-1} \circ f^{-1})(x)$ mempermudah dekomposisi sistem aljabar terbalik.

Peta subtopik bahasan

Konsep Fungsi, Domain, Kodomain, dan Range
Menentukan daerah asal alami dan daerah hasil fungsi rasional serta fungsi irasional.
Operasi Komposisi Fungsi dan Syarat Keberlakuan
Menghitung $(f \circ g)(x)$ dan $(g \circ f)(x)$ serta membuktikan sifat non-komutatif fungsi komposisi.
Fungsi Invers dan Syarat Fungsi Bijektif
Menentukan rumus aljabar invers $f^{-1}(x)$ dari fungsi linear, pecahan linear, dan fungsi kuadrat terbatas.
Invers dari Komposisi Fungsi dan Pemodelan Kontekstual
Menerapkan sifat $(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}$ pada perhitungan konversi mata uang ganda dan diskon bertingkat.

Istilah kunci dan glosarium

Fungsi Bijektif: Fungsi yang bersifat injektif (satu-satu) sekaligus surjektif (pada), yang menjadi syarat mutlak suatu fungsi memiliki fungsi invers.
Komposisi Fungsi: Penggabungan operasi dua fungsi $f(x)$ dan $g(x)$ secara berurutan sehingga menghasilkan fungsi baru: $(f \circ g)(x) = f(g(x))$.
Fungsi Invers: Fungsi kebalikan yang memetakan kembali anggota daerah kawan menuju anggota daerah asal asalnya: $f(x) = y \iff f^{-1}(y) = x$.
Domain Alami: Himpunan seluruh nilai variabel real yang membuat suatu fungsi matematika terdefinisi dan bernilai real.
Fungsi Identitas: Fungsi $I(x) = x$ yang jika dikomposisikan dengan fungsi lain $f(x)$ akan menghasilkan fungsi itu sendiri: $(f \circ I)(x) = f(x)$.

Instrumen asesmen formatif & contoh soal pembelajaran

5 butir instrumen soal pilihan ganda berbasis HOTS untuk mengukur pemahaman konsep pada bab ini. Dilengkapi kunci jawaban dan uraian pembahasan analitis.

Soal 1

Diketahui fungsi $f(x) = 2x + 5$ dan $g(x) = x^2 - 3$. Rumus fungsi komposisi $(f \circ g)(x)$ adalah...

A. $2x^2 - 1$
B. $2x^2 + 7$
C. $4x^2 + 20x + 22$
D. $2x^2 - 6$